A.
Peluang
Suatu Kejadian
Peluang
suatu kejadian adalah nilai kemungkinan terjadinya suatu kejadian, dimana yang dimaksud sebagai kejadian adalah
himpunan bagian dari ruang sampel.
Agar
lebih memahami konsep peluang, kita ambil contoh seperti berikut:
Sebuah
dadu bersisi enam, dilempar sekali. Berapakah peluang munculnya mata dadu lebih
dari dua?
Jawab:
A
= kejadian munculnya mata dadu lebih dari dua.
S
= jumlah sampel mata dadu
P(A)
=
Jadi,
peluang munculnya mata dadu lebih dari dua adalah
B.
Aturan Penjumlahan
Aturan
penjumlahan dapat dinyatakan sebagai gabungan dua kejadian lain atau komplemen
suatu kejadian. Digunakan untuk mengetahui besar peluang terhadap dua kejadian
yang berbeda. Berikut ini akan diberikan beberapa hukum penting yang sering
dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan peluang.
|
Teorema 1.10 Bila A dan B dua
kejadian sembarang, maka
|
|
Akibat 1 Bila A dan B dua kejadian yang terpisah,
maka
|
Akibat
1 dapat diturunkan langsung dari Teorema 1.10 karena bila A dan B terpisah,
maka
sehingga
|
Teorema 1.11 untuk tiga kejadian A, B, dan C
P(B
|
Untuk
mendalami materi, akan diberikan contoh sebagai berikut:
Peluang
seorang siswa lulus kimia
dan peluangnya lulus fisika
.
Bila
peluang lulus kedua pelajaran
, berapakah peluangnya lulus
paling sedikit satu pelajaran?
Jawab:
K
= menyatakan kejadian lulus kimia
F
= menyatakan kejadian lulus fisika
Ø Berdasarkan Teorema 1.10, maka:
Jadi,
peluang lulus paling sedikit satupelajaran adalah
C.
Peluang Bersyarat
Peluang
bersyarat adalah jika dua kejadian terjadi secara berurutan, tidak dapat saling
lepas dan saling mempengaruhi. Atau bisa dikatakan kejadian pertama
mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Misalnya kedua kejadian tersebut
adalah kejadian A dan kejadian B, maka peluang terjadinya kejadian B yang
dipengaruhi oleh kejadian A ditulis dengan
P (B|A). Jika A dan B dua kejadian saling
bebas, maka kejadian A yang terjadi tidak mempengaruhi peluang kejadian B,
sehingga P (B|A) = P(B).
|
Definisi 1.9 Peluang bersyarat B bila A
diketahui, dinyatakan dengan
P
(B|A),ditentukan oleh
P
(B|A)
bila P(A)
|
Untuk
memahami materi peluang kejadian bersyarat, coba perhatikan contoh berikut:
Peluang
suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P (B) =
0,75 ; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,74 dan peluang berangkat dan sampai
tepat waktu
. Cari peluang bahwa pesawat :
a) Sampai tepat waktu bila diketahui
berangkat tepat waktu;
b) Berangkat tepat waktu jika diketahui
sampai tepat waktu.
Jawab:
a) Peluang pesawat sampai tepat waktu jika
diketahui berangkat tepat waktu
P (S|B)
b) Peluang pesawat berangkat tepat waktu
bila diketahui sampai tepat waktu
P (S|B)
D.
Aturan Perkalian
Bila
rumus pada definisi 1.9 dikalikan dengan P(A), maka diperoleh aturan perkalian
yang penting, yang memungkinkan kita menghitung peluang bahwa dua kejadian akan
terjadi serentak.
|
Teorema 1.13 bila
kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan,
maka
|
Jadi
peluang Adan B terjadi serentak sama dengan peluang A terjadi dikalikan dengan
peluang terjadinya B bila A terjadi. Karena kejadian
ekivalen, maka menurut teorema 1.13 jua
berlaku
Dengan
kata lain, tidaklah menjadi soal kejadian yang mana yang disebut A dan yg
disebut B.
Contoh:
Dalam
sebuah kotak terdapat 6 bola biru dan 2 bola kuning. Jika diambil 2 bola satu
per satu tanpa dikembalikan. Tentukan peluang bola yang
terambil itu berturut-turut bola biru dan kuning!
Jawab :
A = kejadian terambilnya bola biru.
B = kejadian terambilnya bola kuning.
Jumlah bola sebelum pengambilan pertama
adalah
6 biru + 2 kuning = 8 bola
Peluang terambilnya 1 bola biru pada
pengambilan pertama adalah
P(A)
Jumlah bola sebelum pengambilan kedua
adalah 5 biru + 2 kuning = 7 bola
Peluang terambilnya 1 bola kuning dengan
syarat bola biru sudah diambil, ditulis P(B|A) =
Jadi, peluang terambilnya berturut-turut
bola biru dan kuning adalah:
Telah
diketahui bahwa peluang munculnya kejadian A dan B secara bersamaan yang
merupakan dua kejadian saling bebas adalah
. Untuk A dan B yang merupakan dua
kejadian bersyarat, maka P(B) digantikan P (B|A) sehingga diperoleh:
E.
Aturan
Bayes
Teorema 1.17 (Aturan Bayes) misalkan
kejadian
merupakan suatu sekatan ruang sampel T dengan
P(
untuk i=1,2,..,k. misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T dengan P(A)
Maka
Untuk
Bukti
:
Menurut
definisi peluang bersyarat
Dan
dengan menggunakan teorema 1.16 pada penyebut, kita peroleh
or
Gunakan
teorema 1.13 pada pembilang dan penyebut, kita peroleh bentuk
Contoh
: tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3,
peluang Pak Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang Pak Cokro terpilih 0,2. Kalau
Pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah 0,1. Pak Ali naik
0,8, dan Pak Badu 0,4. A) Berapakah peluang iuran akan naik
B)bila
seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya
beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah
peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua!
Jawab
:
a) A : orang terpilih naikan iuran
:
Pak Ali terpilih
: Pak Badu terpilih
:
Pak Cokro terpilih
Jadi P(A)= 0,24+0,05+0,08=0,37
b). dengan menggunakan aturan bayes
Dan kemudian masukan peluang yang telah
dihitung d jawaban a, diperoleh :
Berdasarkan kenyataan bahwa iuran telah
naik, hasil ini menunjukan bahwa kemunginan besar bukan Pak Cokro yang sekarang
jadi ketua koperasi tersebut
Tidak ada komentar:
Posting Komentar