Matematika Statistik: "Ekspektasi Matematika"

BAB III

EKSPEKTASI MATEMATIKA

3.1  Rasional

Dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang  akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika.   

3.2  Ekapektasi Matematik

Definisi 3.1 Ekspektasi Matematika Suatu Peubah Acak  Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan X atau harapan matematik X didefinisikan sebagai

Contoh 3.1

Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria !

Solusi :

Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah : , x = 0,1,2,3

Sehingga, f(0)= dan

Jadi, E(X) = 0.

Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih adalah   tiap pemilihan.

Contoh 3.2

Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi  pada:

f(X) =          

Solusi:

E(X) =

Definisi 3.2 Ekspektasi Matematik Suatu Fungsi Jika  X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai

Contoh 3.3:

Misalnya X suatu peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:

x	0	1	2	3
f(x)

Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1

Solusi:  

Karena X peubah acak diskret, maka

 

    =

    = 

Contoh 3.4:

Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang

f(X) =          

Hitunglah nilai harapan g(X)=2X-1!

Solusi:

 

                      

Definisi 3.3 Ekspektasi Matematika dari Fungsi Peluang Gabungan Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x), maka nilai harapan matematika fungsi g(X,Y) ditentukan oleh:

Contoh 3.5:

Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y  sebagai berikut

Hitungalah nilai harapan g(X, T) = XY .

Solusi:

Contoh 3.6:

Hitunglah untuk fungsi padat :

Solusi:

Sifat 3.1 Ekspektasi Matematika a.       Jika a dan b konstanta, maka E(aX+b)-aE(X)+b b.      Jika a = 0, maka E(b)=b c.       Jika b = 0, maka E (aX) = aE(X) d.      E[g(X)+ h(X)] = E[g(X)]+ E[h(X)] e.       Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y)=Y maka E(X+ Y)= E(X)+E(Y) f.       Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y).

Bukti:

 (sifat 3.1a terbukti)

Bukti sifat berikutnya sebagailatihan mahasiswa.

3.3   Moment

Definisi 3.4 Moment Disekitar Pusat Jika X peubah acak, maka moment disekitar pusat X dibdefinisikan sebagai .

Jika k=0 maka dieproleh . Untuk X diskret, dan untuk X kontinu. Sekarang, jika k=1, maka

 dan  yaitu nilai harapan pubah acak X itu sendiri. Dengan demikian momen pertama di sekitar titik asal suatu peubah acak X ini menyatakan rataan peubah acak tersebut. Maka dari itu rataan ini ditulis dengan  atau lebih sederhana  saja. Jadi, .

Definisi 3.4 Moment Disekitar Rataan Jika X peubah acak, maka moment disekitar rataan X dibdefinisikan sebagai

Untuk k=2 atau momen kedua di sekitar rataan, yaitu , akan memberikan gambaran pengukuran sekitar rataan. Oleh sebab itu untuk selanjutnya  ini dinamakan variansi peubah acak X dan dinyatakan dengan atau lebih singkat  saja. Jadi . Akar positif dari variansi ini akan memberikan suatu ukuran yang disebut dengan simpangan baku atau standar deviasi.

Teorema 3.1 Varians Jika peubah acak bebas, maka

Bukti:

Contoh 3.7

Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi  4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !

Solusi:

Distribusi peluangnya adalah :

x	0	1	2	3
f(x)

Jadi

Contoh 3.8  

Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai :

hitunglah Rataan dan  Variansi

Solusi

Sehingga diperoleh rataan  dan varians

Definisi 3.4 Kovarians Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan  dan , maka kovarians peubah acak X dan Y didefinisikan sebagai

Teorema 3.2 Kovarians Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan  dan , maka kovarians peubah acak X dan Y  dapat ditentukan dengan

Bukti:

Contoh 3.9

Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut!

Solusi:

Distribusi pelang gabungannya sebagai berikut:

X                   Y	0	1	2
0
1
2

Sehingga (lihat nilai harapan peubah acak gabungan X dan Y)

Jadi

Contoh 3.10

TEntukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai

 dan  sehingga

Sifat 3.1  Varians a.       Jika X pebuah acak dengan distribusi leluang f(x), maka variansi g(X) adalah b.      Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka c.       Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka d.      Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka e.       Jika X dan Y penuh acak yang bebas, makan

Teorema 3.2 Teori Chebyshev Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpngan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit , yaitu

Bukti :

Menurut definisi variansi,

 

karena integral tak negatif.  Kemudian   dengan atau  dengan dalam kedua integral lainnya,  maka . Jika  ruas  kanan dibagi dengan , maka diperoleh  sehingga

 

dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.

Contoh 3.11 :

Suatu peubah acak X mempunyai rataan variansi  sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4<X<20), dan b. P(.

Solusi :

a, Telah diketahui, bahwa variansi sehingga yang harus dicari adalah nilai k. Nilai k ini dicari dengan melihat salah satu ujung interval,  yaitu -4 atau 20. Berdasarkan teorema Chebyshev diketahui,  bahwa

 sehingga

Dengan menyelesaikan persamaan ini diperoleh nilai k=4. Jadi,

Kerena diketahui , bahwa simpangan baku = 3, maka 3k = 6k = 2, sehingga :

b.

3.4 Fungsi Pembangkit Moment

Definisi 3.5 Fungsi Pembangkit Moment Fungsi pembangkit momen peubah acak X didefinisikan sebagai Mx(t) = E(=

Fungsi Pembangkit momen hanya ada, jika jumlah atau integral pada definisi di atas konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Caranya dengan menggukana rumus : misal X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit momen M_x(t), maka :

Contoh 3.12:

Tentukan fungsi pembangkit momen peubah  acak binomial  X  dan kemudian tunjukkan bahwa  dan

Solusi:

Dari definisi diperoleh

 jumlah yang terakhir adalah penguraian binomial (pe^t+q)ⁿ, sehingga        M_x(t)=(pe^t+q)ⁿ. Kemudian dibeproleh bahwa sehingga, . Untuk t=0, maka  dan  Jadi, dan

Teorema 3.3 Ketunggalan a.     Jika X dan Y dua peubah acak, masing-masing dengan fungsi pembangkit moment Mx(t) dan My(t), maka untuk semua harga t, peubah acak X dan Y mempunyai distribusi peluang yang sama Mx(t) dan My(t) b.    Mx+a(t) = eatMx(t)

Bukti :

M_ax(t) = M_x(at). (bukti sebagai tugas mahasiswa)

Jika x₁, x₂,..., x₂ peubah acak bebas dengan fungsi penbangkit moment masing-masing M_x1(t), M_x2(t),..., M_xn(t), dan Y=X₁+X₂+....+X₃ maka M_y(t) = M_x1(t) +M_x2(t)+.....+M_xn(t) (bukti sebagai tugas mahasiswa).

3.4  RANGKUMAN

1. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan sebagai

2. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai

3. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y) ditentukan oleh

4.      Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b. Jika a = 0, maka E(b) = b. Jika b = 0, maka E(aX) = aE(X).

5.      E[g(X)±h(X),Y] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)].

6.      E[g(X,Y)±h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)].

7.      Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, maka diperoleh E(X±Y) = E(X)E(Y)

8.      Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y)

9.      Variansi peubah acak X adalah  

10.  Kovariansi dua peubah  acak X dan Y dengan rataaan masing-masing  dan diberikan oleh :

11.  Misal X peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka variansi g(x) adalah

12.  Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka  

13.  Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka

14.  Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka

15.  Jika X dan Y pe ubah acak yang bebas,  maka

16.  Jika X dan Y peubah acak dan bebas, maka

17.  Peluang bahwa nilai setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit , yaitu

3.5  Soal-soal

1.    Diketahui distribusi peluang peubah acak X adalah sebagai  untuk x = 0, 1, 2, 3, hitunglah E(X)!

2.                  Hitunglah nilai harapan  peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang   

3.      Jika X menyatakan hasil yang muncul jika suatu dadu yang sepasang dilantunkan, hitunglah nilai E(Y),  jika Y=2X²-5.

4.      Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi padat gabungan :

 

Hitunglah nilai harapan Z =

5.                  Misalkan X  peubah acak dengan distribusi peluang berikut :

X	1	2	3
P(X = x)

Hitunglah a) E(X); b. E(x²); c. E[(2X+1)²]; dan E[{X-E(X)}²]

6.      Olid dan Dilla bersama-sama mengambil empat buah-buahan secara acak dari dalam tas yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang. Jika X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah kovariansi peubah acak X dan Y.

7.      hitunglah kovariansi acak X dan Y yang mempunyai fugsi padat peluang gabungan ; f(x,y)= x+y, 0<X<y; 0<y<1 dan f(x,y) = 0 untuk nilai x dan y lainnya.

8.      Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul jika sebuah dadu hiaju dilantunkan dan Y bilangan yang muncul jika sebuah dadu merah dilantukan hitunglah variansi peubah acak  a, 2X-Y;           b. X+3Y-5!

9.      Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi dan , hitunglah variansi peubah acak Z = 12X+4Y-3!

10.  Diketahui soal no. 9, hitunglah variansinya jika peubah acak X dan Y tak bebas dan