Sabtu, 14 Maret 2015

TRIGONOMETRI - PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DISEMUA KUADRAN



BAB l
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DISEMUA KUADRAN
Dalam pasal pasal ini akan dipelajari perbandingan-perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0o sampai dengan 360o. Sudut-sudut ini dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu :

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Pertama
Sudut-sudut yang terletak di kuadran 1, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0o sampai dengan 360o atau 0o <  a1o < 90o.
Karena nilai, x, y dan r semua positif I dkuadran I, maka nilai sin q, cos q, dan juga tan q juga positif jika 0o < q < 900
 
sin q =
cos q =
tan q =
sin q = cos q ( - q)
cos q = sin  ( - q)
tan q = cot ( - q)
 
Dari gambar juga bisa diketahui bahwa sin q = , cos q = , dan cot j = , sehingga sin q = cos j, cos q = sin j, cos j, tan q = cot j. Karena j =90o - q, maka :





sin q = cos q (900 - q)
cos q = sin  (900 - q)
tan q = cot (900 - q)
 


atau
 

 









Perhatikan, jika sudut q ada di kuadran pertama, yaitu 00 < q < 900, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran I
+
+
+

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Kedua
Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 900 sampai 1800 atau 900 < < 1800.


Perhatikan Gambar. Garis OP ada di kuadran kedua. Kita akan menentukan nilai perbandingan trigonometri . Salah satu cara menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran kedua adalah dengan menggunakan pencerminan OP terhadap sumbu Y. Misalkan  = , maka = (1800 - ). Karena  adalah bayangan (peta) dari P karena pencerminan OP terhadap sumbu Y, maka kita dapatkan hubungan berikut :
x =
y =
Perhatikan bahwa :
Sin (1800-  )= sin
 
Sin  =
Sin (1800 - ) =
Cos (1800-  )= - cos
 
Cos  =
Cos (180 - ) =
Tan (1800-  )= - tan
 
Tan  =
Tan (180 - ) =


 



Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran kedua, yaitu 900 <  < 1800, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran II
+
-
-

Contoh 1
Tentukan sin 1200, tan 1350, dan cos 1500
Jawab
sin 1200 = sin (1800 – 600) = sin 600 =  
tan 1350 = tan (1800 – 450) = -tan 450 = - 1
cos 1500 = cos (1800 – 300) = -cos 300 =

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Ketiga
Sudut-sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 1800 sampai 2700 atau 1800 < < 2700.


Perhatikan gambar. Garis OP ada di kuadran ketiga.  adalah bayangan titik P karena pencerminan terhadap pangkal O. Misalkan  = , maka = (1800 + ). Kita dapatkan hubungan berikut :
x =
y =  
Perhatikan bahwa :
Sin (1800 +  )= - sin
 
Sin  =
Sin (1800 + ) =
Cos (1800 +  )= - cos
 
Cos  =
Cos (180 + ) =
Tan (1800 +  )= tan
 
Tan  =
Tan (180 + ) =


 




Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran ketiga, yaitu 1800 <  < 2700, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran III
-
-
+


Contoh 1
Tentukan sin 2400, dan cos 2250
Jawab
sin 2400 = sin (1800 – 600) = - sin 600 =  
cos 2250 = cos (1800 – 450) = -cos 450 =
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Keempat
Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 2700 sampai 3600 atau 2700 < < 3600.

Perhatikan Gambar. Garis OP ada di kuadran keempat. Kita akan menentukan nilai perbandingan trigonometri . Salah satu cara menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran keempat adalah dengan pencerminan OP terhadap sumbu Y. Misalkan  = , maka = (3600 - ). Karena  merupakan bayangan P karena pencerminan P terhadap sumbu X, maka kita mempunyai hubungan :
x =
y =
Perhatikan bahwa :
Sin (3600-  )= - sin
 
Sin  =
Sin (3600 - ) =
Cos (3600-  )= cos
 
Cos  =
Cos (360 - ) =

Tan (3600-  )= - tan
 
Tan  =
Tan (360 - ) =


 



Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran keempat, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran IV
-
+
-

Contoh 1
Tentukan nilai-nilai :
a. tan 3300     b. sin 3150      c. cos 3000
Jawab
a. tan 3300 = tan (3600 – 300) = - tan 300 =  
b. sin 3150 = sin (3600 – 450) = -sin 450 =
c. cos 3000 = cos (3600 – 600) = cos 600 =





Sudut ()
Besar sudut () berarti besar sudut yang diukur searah dengan perputaran jarum jam.
Sin () = = - sin
Cos () = = cos
Tan () = = - tan
Hubungan berikut berlaku untuk setiap


Sin () = - sin
Cos () = cos
Tan () = - tan

 
 




Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang Lebih dari 3600
Karena besar sudut satu putaran 3600 maka sudut yang lebih dari 3600 misalnya (3600 + ). Dengan demikian akan diperoleh :

 



k bilangan bulat


Contoh 1
Selesaikanlah :
a. sin 3900 
Jawab
a. sin 3900 = sin (3600 – 300) = sin 300 =  
LATIHAN SOAL

1.      Diketahui tan 0 = , 0 sudut kuadran IV.
Hitunglah :
a.       sin 0
b.      cos 0





2.      Tentukan sin 3300 !
3.      Tentukan cos 7650 !



BAB l
PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT DISEMUA KUADRAN
Dalam pasal pasal ini akan dipelajari perbandingan-perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut yang terletak di semua kuadran, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0o sampai dengan 360o. Sudut-sudut ini dikelompokkan menjadi 4 wilayah atau kuadran didasarkan pada besarnya sudut, yaitu :

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Pertama
Sudut-sudut yang terletak di kuadran 1, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 0o sampai dengan 360o atau 0o <  a1o < 90o.
Karena nilai, x, y dan r semua positif I dkuadran I, maka nilai sin q, cos q, dan juga tan q juga positif jika 0o < q < 900
 
sin q =
cos q =
tan q =
sin q = cos q ( - q)
cos q = sin  ( - q)
tan q = cot ( - q)
 
Dari gambar juga bisa diketahui bahwa sin q = , cos q = , dan cot j = , sehingga sin q = cos j, cos q = sin j, cos j, tan q = cot j. Karena j =90o - q, maka :





sin q = cos q (900 - q)
cos q = sin  (900 - q)
tan q = cot (900 - q)
 


atau
 

 









Perhatikan, jika sudut q ada di kuadran pertama, yaitu 00 < q < 900, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran I
+
+
+

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Kedua
Sudut-sudut yang terletak di kuadran II, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 900 sampai 1800 atau 900 < < 1800.


Perhatikan Gambar. Garis OP ada di kuadran kedua. Kita akan menentukan nilai perbandingan trigonometri . Salah satu cara menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran kedua adalah dengan menggunakan pencerminan OP terhadap sumbu Y. Misalkan  = , maka = (1800 - ). Karena  adalah bayangan (peta) dari P karena pencerminan OP terhadap sumbu Y, maka kita dapatkan hubungan berikut :
x =
y =
Perhatikan bahwa :
Sin (1800-  )= sin
 
Sin  =
Sin (1800 - ) =
Cos (1800-  )= - cos
 
Cos  =
Cos (180 - ) =
Tan (1800-  )= - tan
 
Tan  =
Tan (180 - ) =


 



Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran kedua, yaitu 900 <  < 1800, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran II
+
-
-

Contoh 1
Tentukan sin 1200, tan 1350, dan cos 1500
Jawab
sin 1200 = sin (1800 – 600) = sin 600 =  
tan 1350 = tan (1800 – 450) = -tan 450 = - 1
cos 1500 = cos (1800 – 300) = -cos 300 =

Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Ketiga
Sudut-sudut yang terletak di kuadran III, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 1800 sampai 2700 atau 1800 < < 2700.


Perhatikan gambar. Garis OP ada di kuadran ketiga.  adalah bayangan titik P karena pencerminan terhadap pangkal O. Misalkan  = , maka = (1800 + ). Kita dapatkan hubungan berikut :
x =
y =  
Perhatikan bahwa :
Sin (1800 +  )= - sin
 
Sin  =
Sin (1800 + ) =
Cos (1800 +  )= - cos
 
Cos  =
Cos (180 + ) =
Tan (1800 +  )= tan
 
Tan  =
Tan (180 + ) =


 




Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran ketiga, yaitu 1800 <  < 2700, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran III
-
-
+


Contoh 1
Tentukan sin 2400, dan cos 2250
Jawab
sin 2400 = sin (1800 – 600) = - sin 600 =  
cos 2250 = cos (1800 – 450) = -cos 450 =
Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran Keempat
Sudut-sudut yang terletak di kuadran IV, yaitu sudut-sudut yang besarnya antara 2700 sampai 3600 atau 2700 < < 3600.

Perhatikan Gambar. Garis OP ada di kuadran keempat. Kita akan menentukan nilai perbandingan trigonometri . Salah satu cara menentukan nilai perbandingan trigonometri di kuadran keempat adalah dengan pencerminan OP terhadap sumbu Y. Misalkan  = , maka = (3600 - ). Karena  merupakan bayangan P karena pencerminan P terhadap sumbu X, maka kita mempunyai hubungan :
x =
y =
Perhatikan bahwa :
Sin (3600-  )= - sin
 
Sin  =
Sin (3600 - ) =
Cos (3600-  )= cos
 
Cos  =
Cos (360 - ) =

Tan (3600-  )= - tan
 
Tan  =
Tan (360 - ) =


 



Perhatikan, jika sudut  ada di kuadran keempat, maka :
Tanda
Sin q
Cos q
Tan q
Kuadran IV
-
+
-

Contoh 1
Tentukan nilai-nilai :
a. tan 3300     b. sin 3150      c. cos 3000
Jawab
a. tan 3300 = tan (3600 – 300) = - tan 300 =  
b. sin 3150 = sin (3600 – 450) = -sin 450 =
c. cos 3000 = cos (3600 – 600) = cos 600 =





Sudut ()
Besar sudut () berarti besar sudut yang diukur searah dengan perputaran jarum jam.
Sin () = = - sin
Cos () = = cos
Tan () = = - tan
Hubungan berikut berlaku untuk setiap


Sin () = - sin
Cos () = cos
Tan () = - tan

 
 




Perbandingan Trigonometri untuk Sudut yang Lebih dari 3600
Karena besar sudut satu putaran 3600 maka sudut yang lebih dari 3600 misalnya (3600 + ). Dengan demikian akan diperoleh :

 



k bilangan bulat


Contoh 1
Selesaikanlah :
a. sin 3900 
Jawab
a. sin 3900 = sin (3600 – 300) = sin 300 =  
LATIHAN SOAL

1.      Diketahui tan 0 = , 0 sudut kuadran IV.
Hitunglah :
a.       sin 0
b.      cos 0





2.      Tentukan sin 3300 !
3.      Tentukan cos 7650 !

Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)