Varkom: "Teorema Chauchy-Goursat"

Teorema Cauchy - Goursat

Cauchy-Goursat Menyatakan teorema bahwa dalam domain tertentu integral dari fungsi analitik atas kontur tertutup sederhana adalah nol. Perpanjangan dari teorema ini memungkinkan kita untuk mengganti integral lebih dari kontur rumit tertentu dengan integral lebih dari kontur yang mudah untuk mengevaluasi.kita akan melihat bahwa teorema Cauchy-Goursat menyiratkan bahwa fungsi analitik memiliki antiturunan. Untuk memulai, kita perlu memperkenalkan beberapa konsep baru.

Bila  f(z) analitik pada kontur tertutup C sembarang dan di dalam daerah  yang

dibatasinya, maka :

f(z) dz = 0

Dengan kata lain integral fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang dilewatinya.

Bukti pernyataan ini dapat diruntut sebagai berikut :

Untuk vektor dua dimensi (F = F_x  + F_y ), teorema  Stokes pada integral vektor akan

menghasilkan teorema Green berikut :

dimana  adalah daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup  C. Apabila teorema ini ke-

mudian diterapkan pada integrasi kompleks :

 = 0

Karena menurut persamaan Cauchy-Riemann, seluruh integrannya sama dengan nol.

Pengintegralan Cauchy

Teorema Cauchy

Jika  analitik dan  kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana , maka                                                       analitik dan kontinu

                                                                                                                      

Contoh :

Misalkan diberikan sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.

 1.                       

 2.                              

Teorema Cauchy-Goursat

Jika  analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana , maka .   □                                                       analitik

Contoh :

Diketahui .  Hitunglah  jika .

Penyelesaian :

      ,  tidak analitik di  dan terletak di luar .  Oleh karena itu,  analitik di dalam dan pada lintasan , sehingga

Bentuk lain Teorema Cauchy Goursat  :

Jika fungsi  analitik di seluruh domain terhubung sederhana , maka untuk setiap lintasan tertutup  di dalam , berlaku

Teorema Cauchy Goursat yang Diperluas :

Diberikan suatu lintasan tertutup , sedangkan  adalah lintasan-lintasan tertutup yang terletak di interior  sedemikian sehingga  tidak saling berpotongan.  Jika fungsi analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri dari titik-titik pada  dan titik-titik di dalam , kecuali titik-titik interior , maka                                                                                                    tidak analitik                                          analitik

Teorema Morera

Dalam analisis kompleks , sebuah cabang dari matematika , Teorema Morera yaitu setelah Giacinto Morera , memberikan kriteria penting untuk membuktikan bahwa suatu fungsi holomorphic. Teorema Morera adalah konvers sebagian dari teorema Chauchy dan digunakan untuk mengidentifikasi keanalitikan f(z) pada domain terhubung sederhana R dengan menggunakan dua sifat fungsi analitik yaitu f(z) kontinu pada R dan dengan C adalah sebarang lintasan tertutup sederhana dengan ketentuan tidak ada satu titik pun yang menyebabkan f(z) gagal analitik dalam R. Teorema Morera menyatakan bahwa terus menerus , kompleks fungsi ƒ dinilai-didefinisikan pada tersambung set terbuka D dalam bidang kompleks yang memenuhi

untuk setiap C tertutup sesepenggal ¹ kurva γ dalam D harus holomorphic pada D.  Asumsi Teorema Morera adalah setara dengan f yang memiliki anti derivatif pada D. Fungsi holomorphic tidak perlu memiliki sebuah antiturunan pada domain tersebut, kecuali satu memaksakan asumsi tambahan. Sebagai contoh, teorema Cauchy's integral menyatakan bahwa garis integral dari suatu fungsi holomorphic sepanjang kurva tertutup adalah nol, asalkan domain dari fungsi ini hanya terhubung.

Bukti :

Ada bukti yang relatif dasar teorema. Teorema kemudian mengikuti dari kenyataan bahwa fungsi holomorphic yang analitik . Tanpa kehilangan persamaan umum, dapat diasumsikan bahwa D tersambung .Perbaiki titik z ₀ di D, dan untuk , menjadi C sesepenggal ¹ kurva seperti yang γ (0) = z ₀ dan γ (1) = z. Kemudian definisikan fungsi F akan

Untuk melihat bahwa fungsi ini didefinisikan dengan baik, misalkan kurva seperti yang τ (0) = z ₀ dan τ (1) = z. γτ Kurva ^{- 1} (yaitu menggabungkan kurva γ dengan τ secara terbalik) adalah C tertutup sesepenggal ¹ kurva di D, Kemudian,

Dan oleh karena itu

Akhirnya, dari teorema dasar kalkulus , yang turunan dari F ƒ:

Karena f adalah turunan dari fungsi F holomorphic, itu holomorphic.. Ini melengkapi buktinya.

Sebagai contoh, misalkan f 1, f 2, merupakan urutan fungsi holomorphic, konvergen seragam ke f fungsi kontinu pada disk terbuka. Dengan Teorema Cauchy , kita tahu bahwa

untuk setiap n,, sepanjang kurva C ditutup pada disk. Kemudian konvergensi seragam menyiratkan bahwa

untuk setiap C kurva tertutup, dan karena itu oleh ƒ's Teorema Morera harus holomorphic. Fakta ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa, untuk setiap set terbuka Ω → C, set A (Ω) dari semua dibatasi , fungsi analitik u: Ω → C adalah ruang Banach berkaitan dengan norma supremum .

Teorema Morera juga dapat digunakan bersama dengan Teorema Fubini untuk menunjukkan analyticity fungsi ditentukan oleh jumlah atau integral, seperti fungsi zeta Riemann

                                        

atau fungsi Gamma

Khusus satu menunjukkan bahwa

untuk kurva tertutup C yang cocok, dengan menulis

dan kemudian menggunakan teorema Fubini untuk membenarkan mengubah urutan integrasi, mendapatkan

Kemudian satu menggunakan analyticity x ↦ x α -1 untuk menyimpulkan bahwa

Demikian pula, dalam kasus fungsi zeta, teorema Fubini's membenarkan bertukar integral sepanjang kurva tertutup dan jumlah tersebut. Hipotesis teorema Morera bisa menjadi lemah jauh. Secara khusus, itu sudah cukup untuk integral

Hal ini sebenarnya mencirikan holomorphy, ƒ yaitu adalah holomorphic pada D jika dan hanya jika kondisi di atas terus.