Fungsi Analitik (Tugas Variabel Kompleks)

MAKALAH

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

(Fungsi Analitik)

Dosen pembimbing:

Faridatul Masruroh, M.Pd

KELOMPOK 3

1.      Wiji Utomo                       (105.554)

2.      Dwi Ratna Sari                  (105.576)

3.      Novita Maghfiroh              (105.616)

4.      Inti Khalun Nafi’ah           (105.678)

5.      Sri Isroiliyah                      (105.794)

6.      Anggah Frandicky             (105.806)

7.      Nur Amanah                     (105.816)

8.      Lailatul Maghfiroh                        (105.486)

9.      Rahmat Wahyudi I                        (105773)

MATEMATIKA 2010 G

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

2013

PEMBAHASAN

1.Limit Tak Hingga

Kita akan bekerja dalam C⃰ = C (∞). Elemen ∞ adalah nilai w =  untuk z = 0 dan untuk z = ∞ nilai w = 0. Hal ini telah dibicarakan dalam 1.7 (titik di tak hingga). Bayangan daerah cakram  di bidang z oleh fungsi w =  adalah daerah  di bidang w dengan M =  . Tampak bahwa makin kecil  makin besar nilai M, sehingga untuk  maka . Jadi jika  maka  . Dengan demikian maka  kalau limit ini ada.

Sekarang apa yang dimaksud  ? Dari uraian di atas limit ini dapat didefinisikan sebagai berikut.

 

Contoh 9

, sebab

Contoh 10

 sebab

2. KEKONTINUAN

Setelah dibahas pengertian limit fungsi dalam pasal di atas, maka pada pasal ini akan dibahas kekontinuan suatu fungsi.

Definisi :

Diberikan fungsi  f dengan domain definisi suatu daerah D dan titik . Fungsi f dikatakan kontinu di  jika nilai limit f(z) untuk z sma dengan nilai fungsi f (.

Definisi :

Fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dikatakan kontinu di , jika untuk setiap

            Yang diberikan, terdapat , sehingga untuk semua z dengan |z- |,  berlaku  |f(z) – f()| .

            Definisi :

            Fungsi f dikatakan kontinu pada domain definisinya D,

 jika f kontinu di setiap titik di dalam D.

            Untuk mengaitkan kekontunuan fungsi variabel kompleks dengan fungsi real dua variabel real perlu diingatkan definisi berikut. Fungsi real dari dua variabel real u(x, y) yang didefinisikan pada daerah D, dikatakan kontinu di () , jika limit u(x, y) untuk (x, y), atau untuk setiap  yang diberikan, terdapat  0, sehingga untuk semua (x, y) dengan berlaku ketaksamaan .

Teorema :

Fungsi F(z) = u(x, y) + iv(x, y) kontinu di  +  jika dan hanya jika u(x, y) dan v(x, y) kontinu di .

Fungsi f (z) kontinu pada daerah D jika dan hanya jika u (x, y) dan v (x, y) kontinu pada D.

            Sifat-sifat Fungsi Kontinu

            Mengingat teorema  penghitungan limit dan kaitan antara definisi kekontinuan dan definisi limit kita akan memiliki sifat-sifat berikut.

            Fungsi konstan adalah fungsi kontinu. Jika f dan g kontinu pada daerah D, maka demikian juga fungsi f + g, f – g, fg kontinu pada D; kecuali di titik  di mana g ()=0 fungsi  juga kontinu. Jadi  kontinu dalam D asalkan g(z) tidak pernah nol untuk z

            Fungsi sukubanyak adalah kontinu diseluruh bidang kompleks C. Hasilbagi dua sukubanyak adlah kontinu pada daerah yang tidak memuat titik yang menjadikan fungsi penyebut bernilai nol. Sebagai contoh fungsi f (z) =  kontinu kecuali di z = 1 dan f (z) =  kontinu di seluruh bidang kompleks kecuali di titik -1 dan 5.

            Dalam pelajaran kalkulus lanjut dikenal teorema yang mengatakan bahwa jika u (x, y) dan v(x, y) kontinu pada daerah bagian bidang xoy yang tertutup dan terbatas maka jangjauan u dan v terbatas dalam , artinya terdapat A>0 dan B>0 sehingga untuk semua (x, y) dalam daerah itu berlaku | u (x, y) |  dan | v(x, y) | . Jadi jika f(z) kontinu pada daerah tertutup dan terbatas D<C, maka f (D) terbatas dalam , artinya terdapat M>0 sehingga untuk semua zD berlaku | f(z) |, sebab akan terdapat A>0 dan B>0 sehingga untuk semua (x, y)  berlaku | f (z) |  | u (x, y) | + | v(x, y) |  A+B = M.

            Jika f(D) terbatas dalam  mka dikatakan f  terbatas dalam D. Kecuali itu, jika f kontinu pada daerah yang tertutup dan terbatas D, maka f kontinu seragam pada D. Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada D, jika diberikan , terdapat , sehingga untuk setiap dua titi  di dalam D dengan | -|< berlaku | f() – f ()| <.

            Jika diberikan fungsi f yang kontinu pada daerah D, dan fungsi g yang kontinu pada daerah E, maka fungsi h dengan h (z) = g (f (z) ) untuk z adalah kontinu pada D. Jadi fungsi kontinu dari fungsi kontinu adalah fungsi kontinu.

3.Turunan

Diberikan fungsi f yang di definisikan pada daerah D dan z_o D.

Jika diketahui bahwa nilai limit

 ada,

maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik z_o, dan yang di berikan notasi f ( z_o ). Jika f´ ( z_o ) ada maka f dikatakan terdeferensial di z_o. Kerap kali nilai f( z ) – f( z_o ) dinyatakan f dan z – z_o dengan z, sehingga

f´ ( z_o ) =

Jika f terdiferensial di semua titik pada D maka dikatakan f terdiferensial pada D.

Contoh 1.1 :

Buktikan f( z ) = z² terdiferensial di seluruh ℂ.

Ditinjau sembarang titik z_oℂ.

Hasil ini berlaku di sembarang titik z_oℂ. Jadi untuk sembarang z ℂ berlaku f´( z ) = 2z, yang berarti f terdiferensial di seluruh bidang kompleks ℂ.

       Nah, sebelumnya definisi di atas kita telah mendefinisikan pengertian fungsi kontinu, sekarang kita memiliki pengertian fungsi terdiferensial. Hubungan antara kekontinuan dan keterdiferensialan dapat dilihat dari teorema berikut.

Teorema :

Jika f terdiferensial di z_o maka f  kontinu di z_o.

Jadi, kekontinuan di z_o merupakan syarat perlu untuk keterdiferensialan di z_o.

Bukti :

Akan di buktikan f kontinu di z_o jika f´( z_o ) ada. Jadi jika di ketahui f´( z_o ) akan dibuktikan

                                                                         =

                                                                         = f´( z˳ ) . 0 = 0.

                                 Jadi,

         Teorema ini dapat di artikan bahwa jika f tidak kontinu di z_o maka f tidak terdiferensial di z_o. Di samping itu, syarat kekontinuan suatu fungsi di suatu titik tidak mencukupi untuk terdiferensialnya fungsi di titik tersebut. Jadi meskipun f  kontinu di z_o belum tentu f terdiferensial di z_o. Hal ini akan di tunjukkan dengan contoh berikut .

Contoh 1.2

Buktikan bahwa f( z ) = | z |² kontinu di seluruh bidang kompleks, tetapi hanya terdiferensial di satu titik saja yakni di z = 0.

Bukti :

Karena f( z ) = x² + y², maka u( x, y ) = x² + y² dan v( x, y ) = 0 untuk semua ( x, y ) di bidang x, y. Jadi f( z ) kontinu di seluruh ℂ. Dalam contoh 6 telah kita buktikan bahwa tidak ada untuk c = 0 dan sama dengan nol untuk c = 0. Jadi f hanya terdiferensial di 0 dan f´( 0 ) = 0.

4.Cauchy-Riemann

selain kekontinuan, syarat yang diperlukan agar fungsi  terdiferensial di  ialah apa yang  dinamakan syarat Cauchy-Riemann, yakni persamaan yang menghubungkan antara derivatif-derivatif persial tingkat dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner
dari.

Teorema

Jika terdeferensial di , maka  dan mempunyai derivatif parsial pertama di dan di titik ini dipenuhi persamaan
Cauchy-Riemann 

 dan

Derivatif  di  dapat dinyatakan dengan rumus

                                   

Bukti

Dalam teorema diatas yang dimaksud  dan  dalam nilai derivatif parsial   dan  di titik .

            Diketahui  ada, jadi . Kita nyatakan , , ,  sehingga . Jadi

       =

Menurut teorema tentang limit berlaku hubungan

                   Re

                   Im

Ini berarti bahwa derivatif persial dari  dan  terhadap  ada di  dan diperoleh hubungan.

                   Re  dan Im. . . . . . . . . . . . . . .  (1)

Dengan cara yang sama jika diambil lintasan  sepanjang garis vertikal , Jadi  dan , maka akan terbukti bahwa derivatif parsial dari  dan  tehadap  ada di  dan memenuhi hubungan

                   Re  dan Im. . . . . . . . . . . . . .  (2)

Dengan demikian menurut (1) dan (2) telah dibuktikan bahwa persamaan Cauchy-Riemann
(C-R), yakni

                                     dan   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  (3)

Dipenuhi di  dan sekaligus diperoleh rumus

                                    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   (4)

                   Jadi sampai di sini dapat disimpulkan bahwa jika persamaan C-R (J) tidak dipenuhi di  maka  pasti tidak terdiferensial di .

Syarat cauchy-Rieman dalam koordinat kutub

            Dalam koordinat kutub z = r(, sehingga dalam koordinat ini f (z) menjad fungsi dari dua variabel real ,

Akan dicari bentuk syarat C-R dalam koordianat kutub, kita mempunyai hubungan . Jadi u dan v dapat dipikirkan sebagai fungsi dari r dan  dengan r dan  fungsi x dan y. Dari hubungan tersebut diperoleh

 = .

u_{r =} u_x  cos  + u_y sin ,  v_r = v_x cos  + v_y sin

u= -u_xr sin  + u_yr cos ,  v= -v_xr sin  + v_yrcos

karena dalam koordinat cartesius berlaku persamaan C-R

                                           u_x = v_y dan u_y = -v_x                              (1)

untuk (x_o, y_o) di mana z_o = x_o + i y_o = r_o (cos _o + i sin _o), maka dalam koordinat kutub di titik (r_o,o) berlaku

u_r = u_x cos  + u_y sin ,                 u = -u_xr sin  + u_yr cos ,

u_r = -u_y cos  + u_x sin ,                u = u_yr sin  + u_xr cos ,

dari keempat persamaan ini asalkan r_o ≠ 0 dieroleh hubungan

                   u_r =  v dan= -v_r              (r ≠ 0) (2)

sebaliknya jika z_o hubungan (2) benar, maka hubungan (1) juga benar di z_o. Selanjutnya

f '(z_o) dapat dirumuskan menjadi f ' = (z_o) = (cos _o –  i sin _o) [u_r(r_o , _o) + iv_r (r_o , _o)] (3)

Kita telah membuktikan bentuk kutub syarat C-R yang tertuang dalam teorema berikut.

Teorema

Jika f(z) = u (r, ) + i v (r, ) terdefinisi pada suatu kitar titik zo = ro = (cos _o –  i sin _o), dan derivativ-derivatif parsial pertama dari u dan v terhadap r dan  ada dalam kitar itu dan kontinu di (r_o , _o), dan dititik ini dipenuhi persamaan C-R dalam koordinat kutub

 dan           (

Maka f terdefinisi di z_o, dan

f ' (z_o) = (cos _o –  i sin _o) [u_r(r_o , _o) + iv_r (r_o , _o)].

contoh 17

fungsif(z) = z^-3 = r^-3 (cos 3) mempunyai u = r^-3 cos 3 dan v = r^-3 sin 3 dan v = -r^-3(cos 3 mempunyai u = r^-3 cos 3 dan v = -r^-3 sin 3.

Jadi u_r = -3r^-4 cos 3=   -3r^-3 sin 3, dan vr = 3 r^-4 sin 3φ, = -3r^-3 cos 3φ. Keempat fungsi ini kontinu dan syarat C-R dalam koordinat kutub dipenuhi untuk semua

Jadi f diferensial untuk  dan

f ' (z_o) = (cos _o –  i sin _o)(-3r^-4 cos 3 + i 3 r^-4 sin 3φ)

= cis (-φ) (-3r^-4) cis (-3φ) = -3r^-4 cis (-4φ) = .

5.Aturan Pendiferensialan

Definisi derivatif fungsi variabel kompleks f(z) , bentuknya indentik dengan definisi untuk fungsi real satu  variable real f (x). perbedaan yang penting terletak pada cara pengambilan limitnya untuk  dan untuk  untuk yang pertama pendekatannya secara dua dimensional , sedangkan untuk yang kedua secara satu dimensional.

Rumus-rumus pokok  tentang pendiferensialan dibawah ini , dapat dijabarkan dengan menggunakan definisi derivative dan teorema tentang penghitungan limit.                                 Jika   konstanta kompleks dan f ’ (z) dan g ‘ (z) ada , maka berlaku rumus –rumus berikut

Juga berlaku  aturan  rantai untuk mencari derifavatif fungsi komposisi . jika f mempunyai derivative di , dan g mempunyai derivative di  maka fungsi komposisi dengan  mempunyai derivative di  dan h’ jika ditulis  w=g(5) dan 5=f(z) maka

Yang akan dibuktikan hanya aturan rantai saja .

Kita tulis  dengan  dan dimisalkan

= f’ () dan

Fungsi f kontinu di , sehingga untuk z dalam kitar kecil  , maka 5 dalam kitar kecil dan untuk   maka  untuk  dan  dalam kitar -kitar tersebut berlaku  = g’

Dengan

Jika dalam kitar-kitar di atas untuk  dan   diperoleh

Jika diambil limitnya untuk  (juga ) ruas terakhir menjadi g’ ( yang berarti likit ruas pertama ada dan sama dengan derivatif dari h(z)=g(f(z)) di  jadi terbukti bahwa h’

7.Fungsi Analitik

Definisi Fungsi Analitik

Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z₀ apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z₀.

Contoh :

Buktikan f(z) = | z | ² tidak analitik

Bukti:

Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0.

Beberapa hal yang perlu diperhatikan

·         Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.

·         Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function).

·         Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.

Contoh :

Misalkan . Apakah f(z) analitik?

Penyelesaian:

f’(z) ada di semua z kecuali di z² + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i.

Definisi Titik Singular

Titik z₀ dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik pada z₀ tetapi setiap lingkungan z₀memuat paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.

Contoh :

Misalkan . Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana saja f(z) analitik!

Penyelesaian:

f’(z) ada di semua z  kecuali  di  z³ + z = 0  atau  di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga  titik  singular  dari  f  adalah  di   z = 0  dan    di  z = ± i.   f(z)   analitik   di   semua z   kecuali  di  z³ + z = 0   atau  di z = 0 dan di z = ± i .

Syarat dan sifat fungsi analitik

jika f dan g di definisikan dan analitik pada daerah definisi yang sama pada D, mka demikian juga f+g, f-g, fg, dan  juga analitik pada D kecuali di titik di dalam D dimana nilai fungsi g menjadi nol.

Jika f di definisikan dan analitik di daerah D dan g analitik pada daerah E yang memuat f(D), maka h = gof analitik pada D, jadi singkatnya, komposisi fungsi analitik dengan fungsi analitik adalah analitik.

Contoh :

Buktikan bahwa g(z) = ln r +i Ҩ untuk z ∈ E = ( z : z = r cis Ҩ, r > 0 , -π < Ҩ <  analitik pada E. kemudian buktikan bahwa jika f ( z ) =  z + 1 maka h ( z ) =  g ( f ( z ) ) analitik untuk z ∈ D = ( z : Re ( z ) > -1 ).

Bukti :

Jadi g(z) = u ( r, Ҩ ) + i v(r, Ҩ) dengan u=ln r dan v= Ҩ untuk z ∈ E, derivatif parsial u_{r  = ,} v_r = 0, u_Ҩ =0 dan v = 1semuanya kontinue setiap titik z ∈ E, dan di titk itu dipenuhi pula persamaan c- dalam koordinat kutub  u_{r  =} v_Ҩ dan u_Ҩ = -v_r. Jadi g terdeferensial di setiap titik di dalam himpunan terbuka E, sehingga g analitik di setiap titik anggota E, dengan demikian g analitik pada E. karena f fungsi utuh, maka f analitik pada D. Bayangan dari D oleh f, yakni f(D) = ( z : Re ( z ) > 0 ) adalah himpunan bagian dari E. jadi g analitik pada f(D). Dengan demikian  h ( z ) =  g ( f ( z ) ) analitik untuk z ∈ D.

Teorema :

Biberian domain D dan fungsi f di definisikan dan analitik pada D. Jika f’ (z) = 0 untuk setiap z ∈ D, maka f konstan pada D.

Bukti :

Karena f’ (z) = u_x (x,y) + i  v_x(x,y) = v_y (x,y) –i  u_y (x,y) = 0 pada D maka u_x, u_y, v_x, dan v_y  identik nol pada D. Karene diketahui suatu domain, yakni himpunan  terbuka yang terhubung, maka menurut teorema dalam kalkulus u dan v konstan pada D. Jadi f(z) konstan diseluruh D.

8.Fungsi Harmonik

            f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , u_x = v_y dan u_y = –v_x

                Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku v_xy = v_yx. Jika dalam u_x = v_y dan u_y = –v_x  diderivatifkan  parsial terhadap  x dan y  maka "(x,y) ÎD berlaku

                                                u_xx + u_yy = 0

                                                v_xx = v_yy = 0

Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi

u =  +  = 0       y =  +  = 0     (Nabla)

u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut

Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)  analitik dalam suatu domain dinamakan Dua Fungsi yang Harmonik Konjugat dalam domain itu.

Suatu fungsi 2 peubah (riil) yg memenuhi pers. Laplace disebut fungsi Harmonic (u,v:harmonic function)

            u : fungsi sekawan harmonis v

                v : fungsi sekawan harmonis u

Bila  adalah bagian Riil yang analitik,

Tunjukkan bahwa  harmonik ? kemudian tentukan Sekawan Harmoniknya!

Jawaban

u =  +

Jadi U merupakan fungsi Harmonik.

Contoh 3

Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy³ – 4x³y,  (x,y) Îℂ

Jawab :

Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)

jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ sedemikian sehingga berlaku C-R u_x = v_y dan u_y = -v_x

            u_x = 4y³ – 12x²y          v_y = 4y³ – 12x²y         

            u_y= 12xy² – 4x³                           v= y⁴ – 6x²y² + g(x)

karena v_x = –u_y  maka –12xy² + g’(x) = –12xy² + 4x³ sehingga

                        g’(x) = 4x³ diperoleh g(x) = x⁴ + C

                        Jadi v = y⁴ – 6x²y² + x⁴ + C

Cara Milne Thomson

            Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehingga

                        f(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada D

                        f”(z) = u_x(x,y) + iv_x(x,y)

            sesuai persamaan C-R : f”(z) = u_x(x,y) – iu_y(x,y)

            z = x + iy  dan     = x – iy sehingga diperoleh

 

  f(z) = u_x                                               – iu_y                                                             

Suatu identitas dalam z dan      ,  jika diambil     = z   maka f’(z) = u_x(z,0) – iu_y(z,0)

Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnya  u_x(z,0) – iu_y(z,0) kemudian didapat v(x,y)

Contoh 5                                              

Dari Contoh 3 dengan u= 4xy³ – 4x³y, (x,y) Îℂ, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson.

Jawab :

   u_x = 4y³ – 12x²y

   u_y= 12xy² – 4x³

   f’(z) = u_x(z,0) – iu_y(z,0)

     = –i(– 4z³)

     = 4iz³

sehingga f(z) = iz⁴ + C

f(z) = i(x + iy)⁴ + C   = 4xy³ – 4x³y + i(x⁴ – 6x²y² + y⁴) + C