Himpunan (matematika)
Dari Wikipedia bahasa Indonesia,
ensiklopedia bebas
Hari minggu 30
september 2012
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi
benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini
merupakan ide yang
sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan
karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua
himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn
Teori
himpunan, yang baru
diciptakan pada akhir abad
ke-19, sekarang
merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai
diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan
bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap
sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan
sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Notasi Himpunan
Hubungan di
antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn
Biasanya, nama
himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B,
sementara elemen himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).
Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa
setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini
menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Notasi
|
Contoh
|
|
Himpunan
|
Huruf besar
|
|
Elemen himpunan
|
Huruf kecil (jika merupakan huruf)
|
|
Kelas
|
Huruf tulisan tangan
|
|
Himpunan-himpunan
bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan
sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan
|
Asli
|
Bulat
|
Rasional
|
Riil
|
Kompleks
|
Notasi
|
|
|
|
|
|
Simbol-simbol
khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol
|
Arti
|
atau
|
Himpunan kosong
|
|
Operasi gabungan dua himpunan
|
|
Operasi irisan dua himpunan
|
, , ,
|
Subhimpunan, Subhimpunan sejati,
Superhimpunan, Superhimpunan sejati
|
|
Komplemen
|
|
Himpunan kuasa
|
Himpunan dapat didefinisikan
dengan dua cara, yaitu:
- Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan elipsis (...).
- Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen himpuan tersebut.
Himpunan A
tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang
bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin
A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan kosong
Himpunan {apel,
jeruk, mangga, pisang} memiliki anggota-anggota apel, jeruk, mangga,
dan pisang. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu
bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki
anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong
tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Relasi antar himpunan
Subhimpunan
Dari suatu
himpunan, misalnya A = {apel, jeruk, mangga, pisang}, dapat
dibuat himpunan-himpunan lain yang elemen-elemennya adalah diambil dari
himpunan tersebut.
- {apel, jeruk}
- {jeruk, pisang}
- {apel, mangga, pisang}
Ketiga himpunan
di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga
anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai subhimpunan
atau himpunan bagian dari A. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah
himpunan bagian dari A jika setiap elemen B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas
tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang
himpunan A,
Definisi di
atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A
sendiri.
Untuk sembarang
himpunan A,
Istilah subhimpunan
dari A biasanya berarti mencakup A sebagai subhimpunannya
sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian
dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan
biasanya jelas dari konteksnya.
Subhimpunan
sejati dari A
menunjuk pada subhimpunan dari A, tetapi tidak mencakup A
sendiri.
Superhimpunan
Kebalikan dari subhimpunan
adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup
himpunan tersebut.
Kesamaan dua himpunan
Himpunan A
dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B,
dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
atau
Definisi di
atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B
adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B,
kemudian buktikan bahwa B adalah subhimpunan A.
Himpunan Kuasa
Himpunan kuasa atau himpunan
pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari
seluruh himpunan bagian dari A. Notasinya adalah .
Jika A =
{apel, jeruk, mangga, pisang}, maka :
{ { },
{apel}, {jeruk}, {mangga}, {pisang},
{apel, jeruk}, {apel, mangga}, {apel, pisang},
{jeruk, mangga}, {jeruk, pisang}, {mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga}, {apel, jeruk, pisang}, {apel,
mangga, pisang}, {jeruk, mangga, pisang},
{apel, jeruk, mangga, pisang} }
Banyaknya
anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat
banyaknya anggota A.
Kelas
Suatu himpunan
disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan
tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan adalah sebuah
keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan A, maka
himpunan kuasanya, adalah sebuah
keluarga himpunan.
Contoh berikut,
bukanlah sebuah
kelas, karena mengandung elemen c yang bukan himpunan.
Kardinalitas
Kardinalitas
dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya elemen yang
dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya elemen himpunan adalah 4.
Himpunan juga memiliki
elemen sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain,
atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah
himpunan A dan B memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat
fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan A pada B. Karena
dengan mudah kita membuat fungsi yang memetakan
satu-satu dan kepada himpunan A ke B, maka kedua himpunan
tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Himpunan Denumerabel
Jika sebuah
himpunan ekivalen dengan himpunan , yaitu himpunan bilangan asli, maka
himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut
disebut sebagai kardinalitas .
Himpunan semua
bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki
korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli,
yang dinyatakan oleh .
Himpunan Berhingga
Jika sebuah
himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas , maka himpunan tersebut adalah
himpunan berhingga.
Himpunan Tercacah
Himpunan
disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
Himpunan Non-Denumerabel
Himpunan yang
tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini
adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini
disebut sebagai kardinalitas . Pembuktian bahwa bilangan riil tidak
denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan
bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas , karena terdapat korespondensi
satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah
satunya adalah .
Fungsi Karakteristik
Fungsi
karakteristik menunjukkan apakah sebuah elemen terdapat dalam sebuah himpunan
atau tidak.
Jika maka:
Terdapat
korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa dengan himpunan
dari semua fungsi karakteristik dari S. Hal ini mengakibatkan kita dapat
menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada
tidaknya sebuah elemen dalam himpunan tersebut.
Representasi Biner
Jika konteks
pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta S, maka setiap himpunan
bagian dari S bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut
juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi
bit dikaitkan dengan masing-masing elemen S, sehingga nilai 1
menunjukkan bahwa elemen tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa elemen
tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi
karakteristik dari himpunan tersebut. Sebagai contoh, jika himpunan S =
{a, b, c, d, e, f, g}, A = {a, c, e, f}, dan B = {b, c,
d, f}, maka:
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
a b c d
e f g
S = { a, b, c, d, e, f, g } -->
1 1 1 1 1 1 1
A = { a,
c, e, f }
--> 1 0 1 0 1 1 0
B = {
b, c, d, f }
--> 0 1 1 1 0 1 0
Cara menyatakan
himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi
himpunan, seperti union, interseksi, dan komplemen, karena kita
tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya.
- Operasi gabungan setara dengan A or B
- Operasi irisan setara dengan A and B
- Operasi komplemen setara dengan not A
Referensi
- Lipschutz, S. Set Theory. McGraw-Hill
- Delphi 5 Memory Management