BAB ll
RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI
A. Rumus Trigonometri
jumlah dan selisih dua sudut
Rumus untuk cos(α ± β)
A.1.1.Rumus untuk cos(α + β)
Gambar 1.1
Pada gambar 1.1 di perlihatkan sebuah lingkaran dengan
jari-jari 1 satuan(di sebut: lingkaran satuan), sehingga titk A mempunyai koordinat (1,0). Misalkan
<AOB=α dan <BOC=β, maka : <AOC=<AOB+<BOC= α + β. Dengan
mengambil sudut pertolongan <AOD=-β,maka ΔAOC kongruen dengan ΔBOD
Akibatnya :
AC=BD atau 
=
……………(1)
= ……………(1)
Kita ingat bahwa koordinat
cartesius sebuah titik dapat dinyatakan sebagai (r cos α, r sin α), sehingga:
Koordinat titikB (cos α, sin α)
Koordinat titik C {cos (α+β), sin (α+β)}
Koordinat titik D {cos (-β), sin (-β)}=(cos β,-sin β)
Ingat bahwa jari-jari lingkaran adalah r=1
Dengan
menggunakan rumus jarak antara dua titik di peroleh dari:
A 
A = (1,0), C {(cos (α+β)
= 
+
= 
= 
= 
= 
= 
= 
= 
=
= 
|
……………………….Rumus
1
A.1.2. Rumus
untuk 
Dengan
menggunakan rumus 
maka diperoleh :
maka diperoleh :
= 
=
Jadi
, rumus untuk adalah
adalah
|
………………………..Rumus
2
Rumus 1 dan 2 dapat dituliskan secara bersama sebagai berikut:
|
A.2. Rumus untuk 
A.2.1.
Rumus untuk 
Rumus 
dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus-rumus yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu:
dapat ditentukan dengan menggunakan
rumus-rumus yang pernah kita pelajari sebelumnya, yaitu:
Rumus sudut berelasi:
Rumus 
Berdasarkan
rumus a.2, diperoleh hubungan sebagai berikut:
=
=
=
=
Jadi,
rumus untuk adalah:
adalah:
|
…………………. Rumus 3
A.2.2. Rumus untuk 
Rumus untuk 
dapat diperoleh dari
rumus untuk dengan cara
menggantikan sudut β dengan sudut (α-β) sebagai berikut:
dapat diperoleh dari
rumus untuk dengan cara
menggantikan sudut β dengan sudut (α-β) sebagai berikut: 
= 
=
= 
Jadi,
rumus untuk adalah:
adalah:
|
.……………….
Rumus 4
Seperti halnya rumus 1 dan
2,rumus 3 dan 4 dapat ditulis secara bersamaaan sebagai berikut:
|
Rumus untuk 
A.3.1.
Rumus untuk 
Berdasarkan rumus
perbandingan 
, maka:
, maka:
= 
= 
= 
= 
Jadi, rumus untuk adalah:
adalah:
|
……………. Rumus 5
A.3.2. Rumus untuk 
Rumus untuk 
dapat diperoleh dari
rumus dengan cara mengganti
sudut β dengan sudut (-β) sebagai berikut:
dapat diperoleh dari
rumus dengan cara mengganti
sudut β dengan sudut (-β) sebagai berikut:
=
=
=
Jadi, rumus untuk 
adalah:
adalah:
|
…………… Rumus
6
Rumus 6
dan 7 dapat dituliskan secara bersama sebagai berikut:
|
B. Rumus Trigonomeri Sudut Ganda
B.1. Rumus Untuk sin 2α
Pada
rumus 3 yaitu:
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Apabila
sudut β diganti dengan α atau substitusi β= α,maka rumus di atas menjadi:
sin (α + β) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α
= sin α cos α + sin α cos α,ingat cos α sin α= sin α cos α
sin 2 α
= 2 sin α cos α
Jadi,
rumus untuk sin 2 α adalah
|
……………………rumus
7
B.2. Rumus untuk cos 2 α
Kita
ingat kembali rumus untuk cos (α + β)
cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Dengan
mengganti sudut β dengan α atau substitusi β= α, maka rumus di atas menjadi:
cos (α + α) = cos α cos α − sin α sin α
cos 2 α
= cos 2 α − sin 2 α
Jadi,
rumus untuk cos 2 α adalah;
……………………….rumus
8
Bentuk
lain dari rumus cos 2 α
Berdasarkan identitas
trigonometri sin 2 α + cos 2 α = 1, diperoleh hubungan :
sin 2 α = 1 −
cos 2 α dan
cos 2 α = 1 −
sin 2 α
Dari
rumus cos 2 α = cos 2 α − sin 2 α
substitusi
sin 2 α = 1 − cos 2 α,
diperoleh:
cos 2 α = cos 2
α − (1−cos 2 α)
cos 2 α = 2 cos 2 α
− 1
substitusi
cos 2 α = 1 − sin 2 α,diperoleh:
cos 2 α = cos 2
α − sin 2 α
= 1 −
sin 2 α − sin 2 α
= 1 − 2
sin 2 α
cos 2 α = 1 −
sin 2 α − sin 2 α
cos 2 α = 1 −
2 sin 2 α
Jadi,
bentuk lain untuk rumus cos 2 α adalah :
|
………......................rumus 9
atau
|
……………..………rumus 10
B.
3. Rumus untuk tan 2 α
Perhatikan kembali rumus untuk tan (α + β) pada rumus 5:
Dengan mengganti sudut β
dengan α atau substitusi β = α,maka rumus di atas menjadi:
tan 2 α = 
|
………………………rumus
11
C. Rumus Sinus, Kosinus, dan Tangen Sudut 
C.1. Rumus
untuk sin 
Perhatikan kembali rumus untuk 
.
.
= 
Dengan
mengganti atau substitusi 
ke persamaan di atas, di peroleh:
ke persamaan di atas, di peroleh:
Jadi, rumus untuk sin adalah :
adalah :
C.2. Rumus untuk 
Perhatikan
kembali rumus untuk .
.
Dengan
mengganti atau substitusi ke persamaan di atas, di peroleh:
ke persamaan di atas, di peroleh:
Jadi
rumus untuk adalah:
adalah:
C.3. Rumus untuk 
Substitusi
dan pada 
di peroleh:
dan pada di peroleh:
Jadi
rumus untuk adalah:
adalah:
Bentuk lain
dari rumus adalah:
adalah:
D. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Dengan menggunakan operasi
aljabar penjumlahan dan pengurangan pada rumus-rumus baru. Rumus-rumus baru ini
merupakan perkalian sinus dan kosinus yang dinyatakan dalam bentuk jumlah atau
selisih sinus atau kosinus. Untuk memudahkan dalam pembuktian, rumus-rumus 
dan 
disajikan kembali seperti berikut ini:
dan disajikan kembali seperti berikut ini:
Rumus-rumus untuk 
dan 
dan
D.1.1.Rumus
untuk 
Perhatikan kembali rumus (i )dan (ii).Jika masing-masing ruas pada
persamaan-persamaan itu dijumlahkan, maka diperoleh:
Jadi,
D.1.2.
Rumus untuk 
Sekarang kalau masing-masing
ruas pada persamaan-persamaan (i) dan (ii) dikurangkan, maka diperoleh:
Jadi, 
Rumus-rumus untuk 
dan 
dan
D.2.1. Rumus untuk 
Perhatikan kembali rumus (iii) dan (iv).Kalau masing-masing ruas pada kedua
persamaan itu di jumlahkan, maka diperoleh:
Jadi,
D.2.2.
Rumus untuk 
Sekarang kalau masing-masing ruas pada persamaan (iii) dan (iv)
dikurangkan, maka diperoleh:
Jadi, 
E. Rumus Jumlah dan Selisih pada Sinus dan Kosinus
Rumus-rumus pada perkalian
sinus dan kosinus ditulis kembali dengan cara ruas kiri ditulis menjadi ruas
kanan, dan ruas kanan ditulis menjadi ruas kiri. Dengan cara seperti itu
diperoleh:
Dengan
menetapkan variabel-variabel baru 
dan 
, diperoleh
hubungan antara 
dan 
dengan 
dan 
sebagai berikut:
dan , diperoleh
hubungan antara dan dengan dan sebagai berikut: 
Selanjutnya
nilai-nilai , , , dan disubstitusikan ke persamaan di atas, maka
diperoleh: 
, , , dan disubstitusikan ke persamaan di atas, maka
diperoleh: 
Contoh soal:
Pada
sebuah segitiga ABC yang siku-siku di C,diketahui bahwa sin A . sin B = 
dan sin(A – B)
= 5p.
dan sin(A – B)
= 5p.
Carilah
nilai p?
Jawab:
A+
+
= 
A++
= A+ = siku-siku di C
Cos ( A + B) = Cos
Cos A .
Cos B – Sin A . Sin B = 0
Cos A .
Cos B – = 0
= 0
Cos A .
Cos B =
Cos (A
– B ) = Cos A . Cos B + Sin A . Sin B
= +
+
= 
Sin (A
– B ) = 5p
(A – B ) + 
(A – B ) = 1
+ 
= 1
+ 
= 1 = 1 – = 
= 
= 
= 
= 
P = 
P = 
Soal :
Jika 
= a,tunjukkan bahwa:
= a,tunjukkan bahwa:
=
Jika 2
cos (x + 
) = cos (x –
)
) = cos (x –
)
Maka
tan x = ........
Diketahui
tan x = 
, 
< x <
, < x <
Nilai
sin x – sin 3x = .......
JAWABAN
=
a
=> 
= a
= a
=> 
= a
= a
=> 
. Cos x – Sin x
= a
. Cos x + a . Sin x
. Cos x – Sin x
= a
. Cos x + a . Sin x
=> . Cos x – a
. Cos x = Sin x
+ a . Sin x
. Cos x – a
. Cos x = Sin x
+ a . Sin x
=> Cos x ( – a) = Sin x (+a)
– a) = Sin x (+a)
=> 
= 
=
=> tan x = 
=> tan x = 
2 cos (x + ) = cos (x –
)
) = cos (x –
)
=> 2 (Cos x
. Cos – Sin x . Sin ) = Cos x .
Cos + Sin x . Sin
– Sin x . Sin ) = Cos x .
Cos + Sin x . Sin
=>
2 Cos x . Cos 
– 2 Sin x .
Sin = Cos x Cos + Sin x Sin
– 2 Sin x .
Sin = Cos x Cos + Sin x Sin
=> 2 Cos x . Cos – Cos x Cos = 2 Sin x . Sin + Sin x Sin
– Cos x Cos = 2 Sin x . Sin + Sin x Sin
=> Cos x Cos = 3 Sin x
. Sin 
= 
= 3 Sin x
. Sin =
=> = tan x
= tan x
tan x =
, < x <
, < x <
=> tan x = =
=
=> r = 
=> r = 
=> = 
=> = 
=> = 5
=> Sin x = 
= 
=
=> Cos x = 
= 
=
Sin
2x =
Sin (x + x)
= Sin . Cos x + Cos x . Sin x
= 2 Sin x
. Cos x
= 2 . .
.
= 
Cos 2x = Cos (x + x)
= Cos x
. Cos x + Sin x . Sin x
= 
+ 
+
= 
= 
–
–
= 
Sin 3x
= Sin (x + 2x)
= Sin x . Cos 2x + Cos x . Sin 2x
= . + .
. + .
= 
+ 
+
=
Sin x –
Sin 3x = –
–
=
= 
Tidak ada komentar:
Posting Komentar