tugas varkom analitik chauchy-riemann

BAB I

PEMBAHASAN

A.    Derivatif

Diberikan  adalah fungsi yang  didefinisikan pada  daerah  dan . Jika diketahui nilai limit :

maka nilai limit tersebut dinamakan derivatif dari fungsi   pada titik , yang dilambangkan dengan notasi . Jika  ada, maka   dikatakan diferensiabel (dapat diturunkan) di  Jika  terdiferensial di semua titik pada , maka dikatakan  terdiferensial pada

Contoh :

Tentukan derivatif dari  pada titik   !

Penyelesaian :

Jika   maka  

B.     Fungsi Analitik

Definisi  :

Jika derivatif   ada pada semua titik  pada daerah ,maka  dikatakan analitik dalam  dan disebut sebagai fungsi analitik dalam  atau fungsi analitik di .

Istilah reguler atau  holomorfik atau monogenik  kadang-kadang digunakan sebagai sinonim untuk analitik.

Misal, Suatu fungsi f : Aà  dikatakan memepunyai turunan (terdiferensialkan) di z_o dengan  z_o adalah titik interior A jika 

Ada. Notasi  untuk turunan adalah f’ dan ditulis

atau dapat ditulis

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di domain A jika f’ (z) ada untuk setiap z Î A.

Keterdiferensialan fungsi f pada suatu titik mengakibatkan kekontinuan fungsi f pada titik tersebut. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema

Jika f mempunyai turunan di z_0, maka f  kontinu di z₀.

Bukti

= f (z_o) + 0. f’ (z_o)

= f (z_o)

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

Ø  Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.

Ø  Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function).

Ø  Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f analitik.

Contoh soal :

1.      Buktikan f(z) = | z | ² tidak analitik!

Penyelesaian:

Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0.

2.      Misalkan . Apakah f(z) analitik?

Penyelesaian:

f’(z) ada di semua z kecuali di z² + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ± i.

C.      Persamaan Cauchy-Riemann

Di samping kekontinuan, syarat yang diperlukan agar  fungsi terdiferensial di  ialah  syarat Cauchy-Riemann, yakni persamaan yang menghubungkan antara derifatif-derifatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari .

Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks     w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

Definisi:

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama dari u dan v  memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,   yaitu

dengan 

1.         Syarat perlu Cauchy-Riemann

Teorema :

Jika  analitik di daerah  maka  dan  di  memenuhi  persamaan Cauchy-Riemann :

Pembuktian :

Misal :

Selanjutnya :

Karena limit   analitik, limit tersebut  terdifinisi pada  , karena  ,akibatnya   dan  , sehingga terdapat dua kemungkinan :

Kemungkinan 1 :

 sehingga   menjadi :

Kemungkinan 2 :

 sehingga   menjadi :

Karena   analitik, kedua limit di atas identik. Sehingga diperoleh :

atau

2.      Syarat cukup Cauchy-Riemann

Teorema :

Diberikan  analitik di daerah .

Jika derifatif parsial dari  dan  terdefinisi di  dan kontinu di , dan di  persamaan Cauchy-Riemann , maka   ada dan 

Pembuktian :

Jika    dan    kontinu, maka terdapat :

Dimana   dan 

Karena   dan  kontinu, maka :

Dimana   dan 

Dengan cara yang sama  :

 Jika    dan    kontinu, maka terdapat :

Dimana   dan 

Karena   dan  kontinu, maka :

Dimana   dan 

Selanjutnya :

Dimana   dan 

Dengan persamaan Cauchy-Riemann dapat ditulis :

Jadi,  analitik di .

DAFTAR PUSTAKA

R. Soemantri. 1994. Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta Press: Yogyakarta.

http//anwarmutaqin.files.wordpress.com/200909kompleks11.pdf

www.bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com/.../bab-2-lecturenote.