BILANGAN KOMPLEKS
A. Representasi
Bilangan Kompleks Secara Geometri
Bilangan kompleks 
dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada
bidang Cartesius. Bidang Cartesius yang digunakan untuk menggambarkan bilangan
kompleks disebut dengan bidang 
atau bidang kompleks. Bilangan kompleks sering disebut titik dan sebaliknya. Titik asal pada bidang menyatakan titik = 0. Sumbu x (absis) pada bidang kompleks
disebut sumbu bilangan real dan sumbu y (ordinat) pada bidang kompleks disebut
sumbu imajiner.
dapat dinyatakan sebagai suatu titik pada
bidang Cartesius. Bidang Cartesius yang digunakan untuk menggambarkan bilangan
kompleks disebut dengan bidang atau bidang kompleks. Bilangan kompleks sering disebut titik dan sebaliknya. Titik asal pada bidang menyatakan titik = 0. Sumbu x (absis) pada bidang kompleks
disebut sumbu bilangan real dan sumbu y (ordinat) pada bidang kompleks disebut
sumbu imajiner. |
Sumbu
x merupakan sumbu bilangan real.
Sumbu
y merupakan sumbu bilangan imajiner.
Terdapat korespondensi satu-satu antara
himpunan bilangan kompleks c dengan
himpunan titik-titik bidang kompleks. Bilangan kompleks a + ib diwakili oleh
titik (a,b) pada bidang kompleks. Titik O (0,0) mewakili bilangan kompleks 0 +
i0 = 0. Bilangan real x adalah bilangan kompleks x + i0 dan diwakili oleh titik
(x,0) pada bidang kompleks.
Jika 
dan 
maka 
diwakili oleh titik 
. Titik berkorespondensi dengan suatu vektor yang mempunyai koordinat titik sebagai komponen-komponennya. Oleh karena itu,
dapat dinyatakan sebagai jumlah dua vektor.
Dengan demikian, 
dapat diumpamakan sebagai vektor 
dan 
sebagai vektor 
. Selanjutnya 
diumpamakan sebagai vektor 
dan titik 
adalah titik yang mewakili .
dan maka diwakili oleh titik . Titik berkorespondensi dengan suatu vektor yang mempunyai koordinat titik sebagai komponen-komponennya. Oleh karena itu,
dapat dinyatakan sebagai jumlah dua vektor.
Dengan demikian, dapat diumpamakan sebagai vektor dan sebagai vektor . Selanjutnya diumpamakan sebagai vektor dan titik adalah titik yang mewakili .
Jadi, bilangan kompleks selain dapat
dinyatakan dengan titik ternyata juga dapat dinyatakan sebagai suatu vektor
di bidang kompleks.
ternyata juga dapat dinyatakan sebagai suatu vektor
di bidang kompleks.
Contoh Soal:
Tentukan
letak koordinat bilangan kompleks di bawah ini pada bidang kompleks!
a. 3
+ i5
b. -2
+ i3
c. -1-
i2
d. 4
– i1
Jawab:
a.
b.
c.
d.
B. Sekawan (Conjugate)
dari Bilangan Kompleks
1.
Definisi
Sekawan
(conjugate) dari suatu bilangan kompleks didefinisikan sebagai 
. Dan sekawan
(conjugate) dari suatu bilangan kompleks 
didefinisikan sebagai 
.
didefinisikan sebagai . Dan sekawan
(conjugate) dari suatu bilangan kompleks didefinisikan sebagai .
Bilangan
kompleks konjugat dapat digambarkan sebagai berikut:
Dari
gambar di atas terlihat bahwa bilangan kompleks dan 
letaknya adalah simetri terhadap sumbu x.
dan letaknya adalah simetri terhadap sumbu x.
2.
Sifat-Sifat
atau Teorema Sekawan (Conjugate)
a. 
Pembuktian:
Misal 
maka,
maka, 
b. 
= 
+ 
= +
Pembuktian:
Misal: 
dan = 
maka,
dan = maka, = 
= 
= {
}
}
= {
=
+
c. 
= 
=
Pembuktian:
Misal: dan = maka,
dan = maka, =
= 
= {
}
}
= {
}
}
= {
=
d. 
= .
= .
Pembuktian:
Misal: dan = maka,
dan = maka, = {
}
= {
= {
= 
= 
= .
e. 
= /
= /
Pembuktian:
Misal: dan = maka,
dan = maka, = 
= 
= 
= 
= 
= /
f. . = 
. =
Pembuktian:
Misal: dan 
maka,
dan maka, . = 
= 
= 
. =
Contoh
Soal:
Tentukan
sekawan (conjugate) dari bilangan kompleks di bawah ini!
a.
4 + 3i
b.
-6 + 2i
c.
1 – 3i
d.
-1 -5i
Jawab:
a. 4
– 3i
b. -6
– 2i
c. 1
+ 3i
d. -1
+ 5i
DAFTAR
PUSTAKA
Isnaini,
M. 1985. Aljabar Kalkulus dan Analitik
Geometri. Jakarta : Hasta Mitra
Soemantri,
R. 1994. Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta
Tidak ada komentar:
Posting Komentar