Teorema STOKES
Dosen pembimbing :
Fatchiyah
Rahman, S.Pd.
Kelompok 1
1.
Dini Enda Primasari (095.105)
2.
Dewi Komariyah (105.602)
3.
Novikha Khusuma W. (105.622)
4.
Ifa Suprapti N. (105.610)
5.
Darwin Firmansyah (105.640)
6.
Moh. Arif Rahman H. (105.700)
7.
A’ynur Rokhmah (105.729)
8.
Rahmat Wahyudi Irianto (105.773)
PROGRAM STUDI MATEMATIKA 2010 D
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
JOMBANG
2012
Kata Pengantar
“Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih
lagi Maha Penyayang”.
Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena rahmat
dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul “Teorema
Stokes”.
Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas mata
kuliah Analisis Vektor di Prodi Pend. Matematika, STKIP PGRI Jombang.
Dalam pelaksanaan tugas makalah ini banyak pihak
yang telah membantu persiapan, pelaksanaan hingga selesainya tugas makalah ini,
untuk itu kami mengucapkan terima kasih kepada :
1.
Fatchiyah Rahman, S.Pd selaku dosen mata kuliah Analisis
Vektor yang telah banyak memberikan pengarahan dan bimbingan kepada penyusun.
2.
Seluruh pihak yang telah membantu penyusun hingga
terselesaikannya makalah ini, khususnya rekan-rekan mahasiswa prodi pendidikan Matematika
2010 D STKIP PGRI Jombang.
Meskipun sudah berusaha dengan baik, tetapi kami
menyadari kalau makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh sebab itu, kami
sangat menghargai setiap kritik dan saran untuk perbaikan lebih lanjut.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat
bermanfaat baik bagi penyusun maupun semua pihak yang membacanya.
Jombang, November
2012
Penyusun
DAFTAR ISI
Halaman Judul................................................................................................................. .......i
Kata pengantar................................................................................................................. ......ii
Daftar isi.......................................................................................................................... .....iii
BAB I PEMBAHASAN
1.1 Teorema
Stokes........................................................................................
DAFTAR
PUSTAKA..........................................................................................................13
LAMPIRAN..............................................................................
Bab
I
Pembahasan
1.1
Teorema Stokes mengatakan
bahwa :
Tangensial
komponen dari vektor A sekeliling lengkungan tertutup C sama dengan integral
luas dari komponen normal dari rotasi/curl F dikenakan pada permukaan S yang
dibatasi oleh C.
Misalkan S
adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang
tertutup, dan misalkan A(x, y, z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai
turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka diperoleh
Ø Rumus Teorema Stokes:
Dari rumus di atas
dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah
kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl A melalui
sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya.
1.2
Pembuktian Teorema Stokes :
Misal S sebuah
permukaan yang sedemikian rupa sehingga proyeksinya pada bidang-bidang XY, YZ,
dan XZ adalah daerah-daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tertutup sederhana,
seperti gambar :
|
Z
|
|
X
|
|
Y
|
|
n
|
|
dS
|
|
dx
dy
|
Misal S dinyatakan oleh z = f (x,y) atau x = g
(y,z) atau y = h (x,z) dimana
f,g,h adalah fungsi-fungsi yang bernilai tunggal, kontinu dan diferensiabel.
Maka harus dapat
diperlihatkan bahwa :
, dimana C adalah batas dari S.
Pertama dihitung dulu
Karena
, maka
.......................... (1)
Jika z = f (x,y)
diambil sebagai persamaan dari S, maka vektor posisi dari sebarang titik pada S
adalah rf = xi + yj + zk = xi yi + f (x,y)k sehingga turunan parsial terhadap y
diperoleh
. Karena
adalah sebuah vektor singgung terhadap S, maka vektor tersebut
tegak lurus n, sehingga :
atau
................... (2)
Selanjutnya,
substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1). Sehingga diperoleh
Pada S ,
Oleh karena itu
dan diperoleh:
Maka :
dimana R adalah proyeksi S pada bidang
XY.
Menurut teorema Green dalam bidang,
=
Jadi,
Begitu pula dengan memproyeksikan komponen vektor A yang lain pada
bidang-bidang koordinat lainnya akan diperoleh
:
dan
Dengan
menjumlahkan hasil dari integral pada masing-masing
komponen vektor A akan diperoleh
=
=
Jadi,
Bab
II
Contoh
Soal
Contoh
1
Hitunglah
dengan menggunakan teorema Stokes jika
diketahui
A = (2x – y)
i
– yz2 j
– y2z k,
dimana S adalah separuh dari permukaan bola x2 + y2 + z2
= 1 bagian atas dan C batasnya.
Jawab :
Batas C dari S adalah suatu lingkaran
dengan persamaan x2 + y2 = 1, z = 0 dan persamaan parameternya adalah x = cos t,
y = sin t, z = 0, dimana
. Maka berdasarkan teorema Stokes
diperoleh
Contoh
2
Gunakan teorema Stokes untuk menghitung
dengan A = 3yi – xzj + yz2k, dimana S adalah permukaan
paraboloida 2z = x2 + y2
yang dibatasi oleh z = 2 dan C sebagai batasnya.
Jawab :
Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan x2
+ y2 = 4, z = 2 dan persamaan
parameternya adalah x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2, dimana
. Berdasarkan teorema Stokes
Maka:
DAFTAR PUSTAKA
Sukahar, Drs. 1986. Aljabar. edisi IV. IKIP SURABAYA.
ebrul.files.wordpress.com/2012/06/bahan-ajar-6.pdf
